Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

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Summe ersten natürlichen Zahlen (Gaußsche Summenformel)

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (1)

ohne Beweis

Beweismethode: Vollständige Induktion; der ausführliche Beweis ist unter der Gaußschen Summenformel dargestellt.

Summe ersten ungeraden Zahlen

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)

Beweis

Auf Wikipedia unter Induktionsbeweis ist der Beweis zu finden.

Es ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)

Summe der ersten Quadratzahlen

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)

Beweis

Beweismethode: Induktionsbeweis

Oder direkt wie folgt:

Mit Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5) gilt:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6)

Es existieren Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7) Teilsummen, die bei jedem Schritt jeweils um eine zusätzliche Zahl ergänzt werden. Damit kann die Anzahl der einzelnen Zahlen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8) gezählt werden. Es ergibt sich, dass Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)-mal die Zahl Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10) auftritt, dann Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11) die Zahl Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12) usw. und schließlich einmal die Zahl Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13), d.h.

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)

Damit ergibt sich:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)

Daraus folgt:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)

Womit schließlich folgt:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)

Euler-Maclaurinsche Summenformel

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Sind Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18) ganze Zahlen, so dass Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19) ist, und ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20) eine Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)-mal stetig differenzierbare Funktion, so gilt
Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22).
Hierbei steht Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23) für das Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)-te periodische Bernoulli-Polynom und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25) für die Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)-te Bernoulli-Zahl.

Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (27)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (28)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (29)

Damit ist der Induktionsanfang für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (30) gemacht.

Wegen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31) ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34).

Dies ist der Induktionsschluß.

[Umformung der Potenzsumme]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35)

ohne Beweis

Faulhabersche Formel

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36)

1. Beweis

Einerseits ist

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37).

Andererseits ist

See Also
Binomischer Lehrsatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und FachbücherBinomialkoeffizient • Berechnen, Formel, BeispielLineare Funktionen • Formel, Zeichnen, Beispiele

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40).

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41).

Das Einschieben des Vorzeichenoperators Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42) ändert nur den Summanden zum Laufindex k=1.

Aus Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43) wird Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44).

Also ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45).

2. Beweis

In der Euler-Maclaurinschen Summenformel

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46)

setze Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48).

Wegen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49) verschwindet der letzte Term und es gilt

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50).

Der letzte Summand der Reihe (Laufindex Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51)) verschwindet, da Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53) jeweils gleich Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54) sind.

Also ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56).

Verallgemeinerte faulhabersche Formel

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57)

ohne Beweis

[Harmonische Zahlen]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58)

Beweis

Nach der verallgemeinerten Faulhaberschen Formel ist

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59).

Führt man den Grenzprozess Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60) durch, so ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61),

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62)

und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63).

[Bernoulli-Zahlen]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64)

ohne Beweis

Partialsummen der geometrischen Reihe

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65) für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66), sonst divergent

Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67) ergibt die Teleskopsumme Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68), und das ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69).

Korollar zu den Partialsummen der geometrischen Reihe

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70)

Beweis

Man verwendet die FormelFormelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71)und wendet auf beiden Seiten Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) an.Das wird so oft wiederholt, bis der Koeffizient in der Summe Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) ist.

Binomischer Lehrsatz

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74)

Beweis

Der Induktionsanfang Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75) ist klar.

Induktionsschritt:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76)

lässt sich durch Ausmultiplizieren wie folgt als Summe von zwei Reihen schreiben:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77)

Wegen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78) für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79) ändert sich am Wert der ersten Reihe nichts, wenn Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80) bis Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81) läuft.

Die zweite Reihe lässt sich nach Indexverschiebung Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82) schreiben als Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83).

Wegen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (84) für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85) ändert sich am Wert der zweiten Reihe nichts, wenn man mit Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86) zu summieren beginnt.

Es ist also Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87).

Und wegen ist dies gleich Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89).

1. Korollar zum Binomischem Lehrsatz

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90)

Beweis

Das Ergebnis ergibt sich sofort aus dem Binomischen Lehrsatz für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91).

2. Korollar zum Binomischem Lehrsatz

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92)

Beweis

Das Ergebnis ergibt sich sofort aus dem Binomischen Lehrsatz für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94).

3. Korollar zum Binomischem Lehrsatz

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95)

Beweis

Es gilt:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96)


Daraus folgt:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97)

Leibniz-Regel

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98)

Beweis

Der Induktionsbeweis ist analog zum Induktionsbeweis des Binomisches Lehrsatzes.

[Wert der Beta-Funktion]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99)

Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101)

Iterierter Differenzenoperator

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Steht Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102) für den Differenzenoperator, definiert durch Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103),
so gilt Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104).

Beweis

Der Induktionsbeweis hierzu ist analog zum Beweis des Binomischen Lehrsatzes.

Eulersche Identität

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105)

Beweis

Ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106) der Differenzenoperator, definiert durch Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107),

so ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108).

Wiederholtes Anwenden des Differenzenoperators liefert Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109).

Für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110) gilt insbesondere Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111).

Setzt man in der Formel Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113), so erhält man die eulersche Identität.

[Summe der cos(kx)]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114)

1. Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116)

Aus dem Vergleich der Realteile ergibt sich die Behauptung.

2. Beweis

Aus der 2. prosthaphäretischen Formel nach Werner folgt

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (117).

Daraus ergibt sich die Teleskopsumme

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118)

Und das ist nach der 1. prosthaphäretischen Formel nach Simpson gleich

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119).

[Summe der sin(kx)]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120)

1. Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122)

Aus dem Vergleich der Imaginärteile ergibt sich die Behauptung.

2. Beweis

Aus der 4. prosthaphäretischen Formel nach Werner folgt

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123).

Daraus ergibt sich die Teleskopsumme

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124)

Und das ist nach der 4. prosthaphäretischen Formel nach Simpson gleich

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (125).

[Iterierter Operator (x d/dx) auf binomischen Lehrsatz]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (126)

Beweis

Wende die Formel Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) auf die Funktion Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) an.

[Korollar zur letzten Formel]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129)

Beweis

Benutze die Formel Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130).

Teile beide Seiten durch Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131) und führe den Grenzübergang Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132) durch.

[Geometrische Reihe mit Stirling-Zahlen, iterierter Operator (x d/dx)]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133)

ohne Beweis

Rekursionsformel für die geraden Werte der Zeta-Funktion

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134) für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135)

Beweis

Ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136), so gilt:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138) (Cauchy-Produkt)

Da Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139) ist, gilt

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140).

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141) für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142).

Wegen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143) sind der erste und letzte Summand jeweils Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144).

Also ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145).

[Potenzen von Kotangens, Summe über spezielle Stellen]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146)

ohne Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147)

ohne Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148)

ohne Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149)

ohne Beweis

Verallgemeinerte Gauß-Summe

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) gerade

Beweis


Für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153) mit geradem Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) sei Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155).

Für alle Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) gilt Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158).

Es ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159).

Die Integrale Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161) verschwinden also für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162).

Wegen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163)

ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164)

eine auf Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165) holomorphe Funktion mit hebbaren Singularitäten in Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166).

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167).

Da letzter Integrand nur hebbare Singularitäten besitzt, stimmt das Integral für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168) überein mit

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (170).

Landsberg-Schaar Relation

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (171) oder Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (172) gerade
Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (173) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (174) ungerade

Beweis

Für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176) mit Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177) gerade sei Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178).

Für alle Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180) gilt Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (181).

Ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182), so gilt Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (183) für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (184).

Die Integrale Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (185) und Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (186) verschwinden also für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (187).

Wegen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (188)

ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (189)

eine auf Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (190) holomorphe Funktion mit hebbaren Singularitäten in Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (191).

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (192).

Da letzter Integrand nur hebbare Singularitäten besitzt, stimmt das Integral für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (193) überein mit

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (194)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (195).

Gauß-Summe

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (196)

Beweis

In der Landsberg-Schaar Relation Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (197) setze Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (198).

[Kosekansquadrate, Summe über spezielle Stellen]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (199)

Beweis

Verwende die Formel .

Wende auf beiden Seiten den Logarithmus an:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (201)

Differenziere nach Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (202):

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (203)

Differenziere nochmal nach Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (204):

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (205)

[Tangensquadrate, Summe über spezielle Stellen]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (206)

Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (207)

Vergleiche die Realteile auf beiden Seiten:

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (208)

Daraus folgt unmittelbar Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (209).

Der Ausdruck auf der linken Seite verschwindet für Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (210).

Also hat das Polynom Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (211) die Nullstellen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (212).

Nach dem Satz von Vieta ist die negative Summe aller Nullstellen gleich dem Koeffizient vor dem Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (213),

nämlich Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (214).

[Kosekans, alternierende Summe über spezielle Stellen]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (215)

Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (216),

wobei Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (217) die Tschebyscheff Polynome zweiter Art sind.

Wegen Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (218)

ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (219).

Nach dem Satz von Vieta ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (220).

Und das ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (221)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (222).

Partielle Summation

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (223)

Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (224)

Daraus ergibt sich die Teleskopsumme

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[Summe von abgerundeten Quadratwurzeln]

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Beweis

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[Sinus, Summe über spezielle Stellen]

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Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (230)

Beweis

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (231)

Setzt man Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (232) , so ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (233).

Also ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (234).

Nach partieller Summation ist

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (235)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (236).

Dabei ist .

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (238)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (239),

wobei Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (240) ist. Somit ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (241).

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (242)

Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (243)

Also ist Formelsammlung Mathematik: Endliche Reihen – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (244).

Korollar zur Harmonischen Reihe

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ohne Beweis

Abgerufen von „“

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